Trucchi matematici

Al mondo d’oggi, abbiamo a disposizione di tutto per poter effettuare dei calcoli matematici: calcolatrici, smartphone, computer, Excel! Chi ha più bisogno di calcolare “a mente”?! Anche se questi strumenti hanno la loro utilità nella vita di tutti i giorni, hanno di fatto “impigrito” il nostro cervello! Vi è mai capitato di fare “scena muta” durante un’interrogazione o un colloquio di lavoro in cui vi veniva richiesto un semplice calcolo mentale; oppure di essere bocciati ad un esame per uno stupido errore di digitazione commesso con la calcolatrice o di perdere dei soldi per un resto sbagliato alla cassa del supermercato? Per evitare queste spiacevoli situazioni ma, soprattutto, per tenere in allenamento la nostra mente, eccovi dei semplici trucchi per calcolare velocemente alcune kperazioni matematiche.

 

Per calcolare ... Si fa così ...
Aggiungere o sottrarre
numeri a
2 o 3 cifre

Per aggiungere numeri che non sono un multiplo di 10 o di 100, arrotondate il numero per le decine o le centinaia delle cifre più vicine e poi aggiungete o sottraete dal numero arrotondato. Ovviamente bisognerà fare il contrario in caso di sottrazione. Vediamo un esempio pratico:

(144+48)=144+50–2=192
(1385–492)=1385–500+8=893

Moltiplicare o dividere per 5

Per moltiplicare un numero per 5, dividerlo prima per 2 e poi moltiplicarlo per 10. Per dividere un numero per 5, invece, dividetelo per 10 e poi moltiplicatelo per 2.

(82 x 5)=82/2x10=410
(95 / 5)=95/10x2=19

Moltiplicare numeri compresi tra 11 e 19 Per moltiplicare due numeri che sono compresi tra l’11 e il 19, aggiungete la cifra delle unità dell’altro numero, moltiplicatelo per 10 e poi aggiungete il prodotto di quelle cifre (unità).

(14×13)=(17×10)+(4×3)=182

Il quadrato di qualsiasi numero compreso
tra 11 e 99
Per calcolare il quadrato di qualsiasi numero n, bisogna prima trovare il suo più vicino multiplo di 10 e scoprire quanto si dovrebbe aggiungere o sottrarre (k) per arrivare a quel numero. Poi fate l’operazione opposta (addizione o sottrazione) per ottenere due numeri che rappresentano la media di n (ossia n + k e n – k). Moltiplicate questi due numeri e aggiungete il quadrato di k.

(23 x 23) = (26 x 20) + 32 = 529
(97 x 97) = (100 x 94) + 32 = 9.409
————————————–
(a x a) – (b x b) = (a + b) x (a– b)
(a x a) = (a + b) x (a – b) + (b x b)
(23 x 23) – (3 x 3) = (23 + 3) x (23 – 3)
(23 x 23) – (3 x 3) = 26 x 20
(23 x 23) = (26 x 20) + 32
(23 x 23) = 529
—————————————
(45 x 45) = (40 x 50) + 52 = 2.025
(65 x 65) = (60 x 70) + 52 = 4.225

Calcolo radice quadrata

Uno dei migliori metodi per calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero è sicuramente quello che Rafael Bombelli presentò nel libro “Opera su Algebra” del 1550!! Questo algoritmo è difficile da ricordare…..se viene imparato meccanicamente, cioè senza capirne le motivazioni. Vediamo di spiegarlo. La teoria di Bombelli dice che…dato un qualunque numero intero è facile stimare immediatamente da quante cifre è composta la parte intera della sua radice quadrata e qual è la sua prima cifra. Ad esempio, la radice quadrata di 268745 inizia per 5 ed è formata da 3 cifre. In effetti, √268745 = 518,406. Come si fa ad eseguire questa stima? Semplice, si divide il numero in gruppi di 2 cifre partendo da destra. Quindi 26.87.45. Da ciò si evince che:

  • I gruppi sono 3 e perciò la radice quadrata ha 3 cifre
  • Il primo gruppo è 26. La radice quadrata di 26 approssimata per difetto a meno di una unità è 5 e perciò la radice quadrata del numero inizia per 5!

Nello specifico, la stima del numero di cifre deriva da una caratteristica della nostra notazione in base 10:
Se 0 < a < 10 allora 0 < a2 < 100
Se 10 < a < 100 allora 100 < a2 < 10.000
Se 100 < a < 1000 allora 10 000 < a2 < 1.000.000

La stima della prima cifra deriva da un ragionamento sui quadrati dei numeri da 1 a 9. In questo caso:
52 = 25 – 62 = 36
502 = 2500 – 602 = 3600
5002 = 250000 – 6002 = 360000

Dato che: 250000 < 268745 < 360000 si ha che: 500 < 268745 < 600. Dunque, ecco dimostrato come la prima cifra sia pari a 5.

Calcolare a
mente fino
a 19 x 19

Questo è un utile trucco aritmetico che vale la pena ricordare: permette di moltiplicare fino a 19 x 19 senza l’uso di una calcolatrice o di carta e penna! Ad esempio, consideriamo 19 x 17. Immaginate il numero più grande nella riga superiore e prendete l’ultima cifra del numero inferiore a 7 e aggiungete a questa 19.

19 + 7 = 26
Poi moltiplicare 26 x 10 = 260
Prendere le cifre delle unità (9 x 7) = 63 e aggiungetele al 260…. 260 + 63 = 323

Moltiplicare
grandi numeri

Questo trucco vi permette di moltiplicare grandi numeri utilizzando una semplice moltiplicazione ed alcune integrazioni. Ad esempio, moltiplichiamo 26 x 72. Scriviamo i numeri nel modo normale.

26 x
72

Ciascun numero può essere pensato come se fosse in quattro celle disposte in una sorta di quadrato……
2 6
7 2

Il primo passo da fare è quello di moltiplicare le cifre nella prima colonna (6 x 2 = 12). Se il numero è maggiore di 9, cercate di memorizzare il valore delle decine. In questo caso, scrivere il 2 e ricordare l’1. Poi moltiplicate le due diagonali e sommarle. Ovvero calcolare (2 x 2) + (6 x 7) = 4 + 42 = 46. Aggiungete la decina della fase precedente (1) ed otterremo 47. Quindi scrivere il 7 e ricordare il 4. Infine moltiplichiamo la colonna di destra. (2 x 7) = 14 e aggiungete il 4 dell’ultimo passo. Otterremo 18. Quindi, 26 x 72 sarà uguale a 1.872

Vediamo ora il caso di un numero più grande, a tre cifre: 468 x 526
4 6 8
5 2 6

Iniziamo allo stesso modo di prima: 6 x 8 = 48. Scrivere 8 e ricordare 4. Poi…(6 x 6) + (2 x 8 ) = 36 + 16 = 52. Non dimenticate di aggiungere il 4 di prima ed otterremo 56. Annotare il 6 e ricordare il 5. Ora per la terza cifra abbiamo tre piccoli numeri da moltiplicare e sommare. Partendo da (4 x 6) + (2 x 6) + ( 5 x 8 ) = 24 + 12 + 40 = 76. Sommiamo il 5 del passaggio precedente ed avremo 81. Scrivere l’1 e ricordare l’8. Ora….(4 x 2) + (5 x 6) = 8 + 30 = 38……..+8 del passaggio precedente = 46. Quindi scrivere 5 e ricordare 4.

Infine, la colonna più a sinistra, (4 x 5) = 20…..+ 4 = 24. La risposta sarà quindi: 246.168. Si potrebbe andare avanti e moltiplicare anche cifre a quattro numeri in modo del tutto simile.

Moltiplicare
due numeri
che
differiscono
di un piccolo numero

Questo trucco funziona solo se si è memorizzato o si riesce a calcolare rapidamente i quadrati dei numeri. Se siete in grado di memorizzare alcuni quadrati ed utilizzare i trucchi descritti negli articoli precedenti per alcuni tipi di numeri, sarete in grado di moltiplicare rapidamente insieme molte coppie di numeri che differiscono di 2 o 4 o 6 unità. Vediamo qualche esempio….

Diciamo che si desidera calcolare 12 × 14 . Quando due numeri differiscono di due unità, il loro prodotto sarà sempre il quadrato del numero tra di loro……meno 1.
12 × 14 = (13 × 13) – 1 = 168
16 × 18 = (17 × 17) – 1 = 288
99 × 101 = (100 × 100) – 1 = 10000 – 1 = 9999

Se due numeri differiscono di 4 unità, allora il loro prodotto sarà uguale al quadrato del numero “nel mezzo” (ovvero la media dei due numeri) meno 4.
11 × 15 = (13 × 13) – 4 = 169 – 4 = 165
13 × 17 = (15 × 15) – 4 = 225 – 4 = 221

Se due numeri differiscono invece di 6 unità, allora il loro prodotto sarà uguale al quadrato della loro media….meno 9.
12 × 18 = (15 × 15) – 9 = 216
17 × 23 = (20 × 20) – 9 = 391

Quadrato di un numero che termina per 5

Se un numero termina per 5, allora il suo quadrato finirà sempre per 25! Per ottenere il resto del prodotto, prendete la cifra di sinistra e moltiplicatela per un numero maggiore di 1 dello stesso.

35 × 35 terminerà per 25. Otterremo il resto del prodotto moltiplicando 3 per il numero maggiore di un’unità dello stesso, ovvero 4. Quindi, avremo 3 × 4 = 12 e che rappresenta il resto del prodotto. Quindi……35 × 35 = 1225

Invece, per calcolare 65 × 65, dovremo moltiplicare prima 6 × 7 = 42. La risposta sarà quindi uguale a 4225. Facile, no?

Moltiplicare … raddoppiando
e dimezzando

Questo trucco vale solo in quei casi in cui si sta moltiplicando due numeri e uno dei numeri è pari. In questo caso, potete dividere quel numero per 2 e moltiplicare l’altro numero per 2. Vediamo qualche esempio pratico. Diciamo che volete moltiplicare 14 x 16. Con questo metodo, sarà possibile fare così:
28 × 8 = 56
56 × 4 = 112
112 × 2 = 224

Moltiplicare numeri con
la virgola
Questa tecnica prevede lo spostamento delle virgole per ottenere dei numeri interi. Se, ad esempio, calcoliamo (2,03 x 1,8) dovremo spostare la virgola di 2 posizione per il 2,03 e di 1 posizione per 1,8 (quindi, 3 posizioni totali). In questo modo otterremo 203 x 18 = 3654. Non dovremo far altro che aggiungere le posizioni della virgola precedenti (cioè 3) ed otterremo perciò 3,654.
Moltiplicare
per 11
Per calcolare (53 x 11), dobbiamo separare le due cifre 5 e 3 e poi inserire tra le due la loro somma (5+3), ovvero 5_(5+3)_3 = 583. Se invece la somma dei due numeri è superiore alla decina, sarà sufficiente aggiungere la prima cifra della somma alla prima cifra del numero originale, lasciando la seconda cifra della somma al centro delle due cifre del numero originale. Ecco un esempio:
(99 x 11) = 9 _ (9 + 9) _ 9 = 9 _ (18) _ 9 = 9 + 1 _ 8 _ 9 = 1089.
Quadrato di un numero di 2 cifre che termina con 5

Per applicare questa tecnica, bisognerà moltiplicare la cifra a sinistra di un numero per la stessa cifra più 1 e aggiungere 25. Vediamo qualche esempio pratico:
252 = [2 x (2+1) ] e aggiungere 25 = 6 e 25 = 625
352 = [3 x (3+1) ] e aggiungere 25 = 12 e 25 = 1225

Moltiplicare un numero per 5

Bisognerà dividere semplicemente un numero per 2 e poi moltiplicarlo per 10.
Ad esempio per calcolare (2462 x 5): 2462 / 2 = 1231 x 10 = 12310
Lo stesso discorso varrà anche se il numero non fosse divisibile per 2.

Dividere un numero per 5

Bisogna moltiplicare il numero per 2 e poi dividerlo per 10. Ad esempio, per calcolare (195 / 5): 195 x 2 = 390 / 10 = 39

Moltiplicare 1 numero per N

 

N = 4 ... moltiplicare x2, poi x2 ancora: 58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232
N = 6 ...
equivale a x3 x2 (ad esempio 5 x 6 = (5 x 3 x 2) = 30
N = 9 … equivale a x10 poi si sottrae il numero originale [5 x 9 = (5 x 10) - 5 = 45]
N = 12 ... equivale a x10 poi si aggiunge 2 volte il numero originale
N = 13 ... equivale a x10 poi si aggiunge 3 volte il numero originale
N = 14 ... equivale a x7 x2
N = 15 ... equivale a x10 poi si aggiunge 5 volte il numero originale
N = 16 ... equivale a x8 x2 oppure a x4 x4
N = 17 ... equivale a x10 poi si aggiunge 7 volte il numero originale
N = 18 ... equivale a x20 poi si sottrae 2 volte il numero originale
N = 19 ... equivale a x20 poi si sottrae il numero originale
N = 24 ... equivale a x8 x3
N = 27 ... equivale a x30 poi si sottrae 3 volte il numero originale
N = 45 ... equivale a x50 poi si sottrae 5 volte il numero originale
N = 90 ... equivale a x10 x9
N = 98 ... equivale a x100 poi si sottrae 2 volte il numero originale
N = 99 ... equivale a x10 poi si sottrae il numero originale

Dividere per N

N = 2 ...Tutti i numeri pari sono divisibili per 2. Ad esempio, tutti i numeri che terminano con 0,2,4,6 o 8.

N = 3 ... Se sommando tutte le cifre di un numero, il risultato è divisibile per 3 lo è anche il numero! Ad esempio 12.123 (1 +2 +1 +2 +3 = 9). 9 è divisibile per 3, quindi 12123 è anche divisibile per 3!

N = 4 ... Per sapere se un numero è divisibile per 4, bisogna prendere le ultime due cifre del numero e vedere se sono divisibili per 4. Ad esempio il numero 358.912 ha alle estremità 12, che è chiaramente divisibile per 4. Quindi è così anche per 358.912!

N = 5 ... I numeri che terminano con un 5 o con 0 sono sempre divisibili per 5. Tutto quello che dovete fare è moltiplicare per 2 e spostare il punto decimale:
Es1: 195 / 5 Passo1: 195 * 2 = 390 Passo2: Spostare il decimale: 39.0 o solo 39
Es2: 2978 / 5 Passo1: 2978 * 2 = 5956 Passo2: 595.6

N = 6 ... Se il numero è divisibile per 2 e per 3 è anche divisibile per 6.

N = 7 ... Prendete l’ultima cifra in un numero, moltiplicatela per 2 e sottraete l’ultima cifra del numero dal resto delle cifre. Ripetere il processo per i numeri più grandi. Esempio: per il numero 357 (7×2)=14. Poi sottrarre 14 da 35 per ottenere 21, che è divisibile per 7. Quindi, ora possiamo dire che 357 è divisibile per 7!

N = 8 ... Questo non è così semplice! Se le ultime 3 cifre sono divisibili per 8, sarà così anche per l’intero numero. Esempio: 6008. Le ultime 3 cifre sono divisibili per 8, quindi possiamo dire che 6008 è divisibile per 8.

N = 9 ... In questo caso, vale quasi la stessa regola della divisione per 3. Sommando tutte le cifre di un numero, se la somma è divisibile per 9, sarà così anche per il numero. Ad esempio: 43.785 (4 +3 +7 +8 +5 = 27) 27 è divisibile per 9, quindi anche 43785!

N = 10 ... Se un numero termina in 0, sarà sempre divisibile per 10.

Il trucco dell’11

Sappiamo tutti il trucco che si attua quando moltiplichiamo per dieci un numero, cioè aggiungere uno 0 alla fine del numero. Ma lo sapevate che esiste un trucco altrettanto facile per moltiplicare un numero a due cifre con il numero 11? Vediamo come fare. Prendete il numero originale e immaginate uno spazio tra le due cifre (in questo esempio useremo il numero 52) : 5_2
Ora aggiungete i due numeri insieme e metteteli al centro: 5_(5+2)_2 Ecco fatto. La risposta è 572! (11*52=572).

Il quadrato veloce

Se avete bisogno di elevare al quadrato un numero a due cifre che termina con 5, sarà possibile farlo molto facilmente con questo trucco. Mulitplicate la prima cifra + 1 e aggiungete 25 alla fine. Semplice..no?! Nel mio esempio ho usato il numero 25: 252 = (2x(2+1)) & 25 2 x 3 = 6 625


Calcolare una mancia

Se avete bisogno di lasciare una mancia del 15%, ecco il modo più semplice per farlo. Elaborate il 10% (dividere il numero per 10) e poi aggiungete il numero a metà del suo valore e così si avrà: 15% di 25euro = (10% di 25) + ((10% di 25) / 2)
2.50 + 1.25 = 3.75euro

Moltiplicazioni difficili

Se dovete moltiplicare un numero grande e uno dei due numeri è pari, potete facilmente suddividerlo in questo modo: 32 x 125, è la stessa di: 16 x 250 è la stessa di: 8 x 500 è la stessa di: 4 x 1000 = 4000
Che ne dite? Molto più semplice moltiplicare 4×1000 che 32×125, no?!

Sottrarre un numero da 1000

Per sottrarre un gran numero dai 1.000 è possibile utilizzare questa regola di base: sottrarre tutti tranne l’ultimo numero da 9, quindi sottrarre l’ultimo numero da 10: Es.: 1000 – 648 Passo1: sottrarre 6 da 9=3 Passo2: sottrarre 4 da 9=5 Passo3: sottrarre 8 da 10=2 Risposta: 352

Percentuali

Eccovi anche qualche utile suggerimento per calcolare le percentuali. Trovare il 7% di 300 vi sembra difficile? Ok, proviamo ad analizzare la parola percentuale: essa, letteralmente, vuol dire per ogni 100 . Quindi, ne consegue che il 7 per cento di 100, è 7. (7 per ogni 100). Così: 8% di 100 = 8, 35,73% di 100 = 35,73,
Se l’8% di 100 è 8, ne consegue che l’8% di 50 è la metà di 8, cioè 4!

Dividete ogni numero in relazione a 100, se il numero è inferiore a 100 e quindi spostate il punto decimale di conseguenza. Esempi
8% di 200 =? 8 + 8 = 16 8% = 250? 8 + 8 + 4 = 20.
8% 25 = 2,0 (Spostare il decimale dietro) 15% di 300 = 15 +15 +15 = 45.
15% di 350 = 15 +15 +15 +7,5 = 52,5

Inoltre, sarà utile sapere che si può sempre invertire le percentuali: ad esempio, il 3% di 100 è come dire il 100% di 3! Il 35% di 8 è uguale all’8% di 35.

 

 

 

Fonte: lezioneonline.com